十二年國教數學

前言

幫學生補習數學，補習班要花不少錢，找尋好方法教小朋友學數學。

現在各年級都在學什麼

一、國小

一年級

• 100以內的數、數數、比大小
• 一位數加減、簡單的二位數加減
• 比長短、認識形狀、看時鐘（整點、半點）

二年級

• 認識1000以內的數和100元、500元和1000元的幣值，並能用＜、＝與＞表示數量大小關係
• 三位數加減直式（含進位、退位）
• 九九乘法
• 公分、公尺；重量的比較；平面圖形、正方體與長方體

三年級

• 一萬以內的數、多位數乘以一位數（乘法直式）
• 除法入門（含餘數）
• 分數、小數初步認識
• 公里、公釐、公斤、公克、公升、毫升；角、圓（圓心、半徑、直徑）

四年級

• 一億以內的數（萬、十萬、百萬、千萬）、多位數乘除
• 四則混合計算：先乘除後加減、括號先算
• 概數（四捨五入）
• 真分數、假分數、帶分數；二位小數
• 量角器量角度、三角形與四邊形
• 長方形、正方形的周長與面積；折線圖

五年級

• 億以上的大數（億、兆）
• 因數、倍數、公因數、公倍數
• 擴分、約分、異分母加減、分數乘法、小數乘法
• 三角形內角和 180 度、四邊形內角和 360 度
• 平行四邊形、三角形、梯形面積
• 體積（立方公分、立方公尺）
• 百分率

六年級

• 質數、質因數分解
• 分數除法、小數除法
• 比與比值、正比、速率
• 圓周率、圓面積
• 柱體體積、縮圖與比例尺
• 用未知數（x）列式解題 —— 銜接國中代數

二、國中

七年級

• 負數、數線、絕對值；分數運算
• 指數記法、科學記號
• 一元一次方程式、二元一次聯立方程式
• 直角坐標、比例（正比、反比）
• 一元一次不等式、統計圖表

八年級

• 乘法公式、多項式、因式分解
• 平方根、畢氏定理
• 一元二次方程式
• 等差數列與級數、等比數列、線性函數
• 三角形全等（SSS、SAS、ASA、AAS、RHS）、尺規作圖
• 三角形、平行四邊形性質，幾何證明入門

九年級

• 相似形、圓的性質
• 三角形的外心、內心、重心
• 二次函數（拋物線）
• 統計與機率（四分位數、盒狀圖）、立體圖形

三、高中

[!NOTE] 本文以普通型高中為準。十一年級起分成數A、數B，十二年級為選修（數學甲、數學乙）；標示「數A」的單元，數B 沒有或內容較淺。實際進度以學校課本為準。

十年級（高一）

• 實數、絕對值、指數、常用對數
• 直線方程式（斜率）、圓方程式、直線與圓的關係
• 多項式函數：多項式除法、餘式定理、因式定理、多項式不等式
• 三角比：直角三角形的三角比、廣義角、正弦定理、餘弦定理
• 數列與級數：等差級數、等比級數、Σ 符號
• 排列、組合、二項式定理；古典機率、期望值
• 數據分析：平均數、標準差、相關係數、迴歸直線

十一年級（高二）

• 三角函數：弧度、圖形（週期、振幅）、和差角公式、疊合
• 指數函數、對數函數
• 平面向量、內積
• 空間向量、空間中的平面與直線（數A）
• 矩陣（數A 另有三元一次聯立方程式）
• 條件機率、貝氏定理

十二年級（高三，選修）

• 極限、微分（切線斜率、極大極小值）
• 積分（面積）、微積分基本定理
• 隨機變數、二項分布
• 複數與複數平面（數學甲）

教學範例

每個主題分成三部分：怎麼說是講給小朋友聽的生活比喻，範例是帶著做一次的題目，試試看讓小朋友自己練習，答案點開才看得到。

[!TIP] 先講比喻、再做範例，最後讓小朋友自己做「試試看」。做錯時請他把想法說出來，通常就能找到卡住的地方。

國小一年級

100 以內的數、比大小

怎麼說：10 根吸管綁成一捆。「47」就是 4 捆又 7 根，左邊的數字是「幾捆」（十位），右邊是「幾根」（個位）。

範例：47 和 52 哪個大？先比捆數，5 捆比 4 捆多，所以 52 比較大，不用再看個位。

試試看：68 和 86 哪個大？

加法與減法

怎麼說：加法是「合起來」，減法是「拿走」。用手指或積木實際動手最有效。

範例：8 + 5 用「湊十」：8 只差 2 就到 10，把 5 拆成 2 和 3，8 + 2 = 10，再加 3 就是 13。

減法 13 − 5 也一樣：把 13 拆成 10 和 3，10 − 5 = 5，再加回 3，答案是 8。

試試看：9 + 6 = ？　14 − 6 = ？

比長短、形狀、看時鐘

怎麼說：

• 比長短：兩樣東西一定要從同一個起點對齊才能比。
• 形狀：在家裡找找看，時鐘是圓形、課本是長方形、三明治是三角形。
• 時鐘：短針是「時針」，指到幾就是幾點；長針指到 12 是「整點」，指到 6 是「半點」。

範例：短針指著 7、長針指著 12，是 7 點整；過了半小時，短針走到 7 和 8 中間、長針指著 6，是 7 點半。

試試看：短針在 3 和 4 中間，長針指著 6，是幾點？

國小二年級

1000 以內的數、錢幣、大於小於

怎麼說：用錢最好懂。百位就是幾張 100 元，十位是幾個 10 元，個位是幾個 1 元。

範例：1 張 500 元、2 張 100 元、3 個 10 元，一共 500 + 200 + 30 = 730 元。

比大小的符號「＞」「＜」可以想成鱷魚的嘴巴，開口永遠朝向比較大的那個數：730 ＞ 703。

試試看：1 張 500 元加上 4 張 100 元，和 1000 元比，哪個多？

三位數加減直式（進位、退位）

怎麼說：直式要把位數對齊。個位加起來滿 10，就把 10 個「1」換成 1 個「10」送到十位，這就是進位；不夠減時向隔壁借 1 個「10」回來，就是退位。

範例：278 + 145

    2 7 8
 +  1 4 5
 ─────────
    4 2 3

個位 8 + 5 = 13，寫 3 進 1；十位 7 + 4 + 1 = 12，寫 2 進 1；百位 2 + 1 + 1 = 4。

範例：503 − 128

    5 0 3
 −  1 2 8
 ─────────
    3 7 5

個位 3 不夠減 8，十位是 0 借不到，只好先跟百位借：百位 5 變 4，十位變 10；十位再借 1 給個位，十位剩 9，個位變 13。13 − 8 = 5，9 − 2 = 7，4 − 1 = 3。

[!IMPORTANT] 減法做完用加法驗算：375 + 128 = 503，對了才算完成。

試試看：356 + 278 = ？　600 − 247 = ？

九九乘法

怎麼說：乘法就是「好幾份一樣多」的加法。每盒有 4 顆蛋，3 盒就是 4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12 顆。

範例：九九乘法表可以找規律，不用硬背。9 的那一排是 9、18、27、36、45……十位一次多 1、個位一次少 1，而且兩個數字加起來都是 9。另外 3 × 4 和 4 × 3 都是 12，順序換了答案不變，要背的量就少了一半。

試試看：每包糖果有 6 顆，買 7 包，一共幾顆？

長度、重量、立體形狀

怎麼說：

• 長度：1 公尺 = 100 公分，大約是大人一步多一點。用尺量的時候要從 0 開始對齊。
• 重量：用天平比，比較低的那邊比較重。
• 立體形狀：骰子是正方體（6 個面都是一樣大的正方形），面紙盒是長方體。

範例：用尺量橡皮擦，一端對齊 0，另一端指到 4，就是 4 公分。如果不小心從 1 開始量，另一端會指到 5，長度要用 5 − 1 = 4 公分來算。

試試看：鉛筆長 15 公分，課本長 26 公分，哪個比較長？長多少？

國小三年級

一萬以內的數、多位數乘以一位數

怎麼說：10 個一百是一千，10 個一千是一萬。4382 念作「四千三百八十二」。

範例：一張門票 236 元，買 4 張要多少錢？

    2 3 6
 ×      4
 ─────────
    9 4 4

個位 6 × 4 = 24，寫 4 進 2；十位 3 × 4 = 12，加 2 是 14，寫 4 進 1；百位 2 × 4 = 8，加 1 是 9。

試試看：每箱有 125 瓶水，5 箱共幾瓶？

除法與餘數

怎麼說：除法就是「平分」。分不完剩下的就是餘數。

範例：17 顆糖平分給 5 個人，每人 3 顆，還剩 2 顆，寫成 17 ÷ 5 = 3……2。

驗算：5 × 3 + 2 = 17。

[!IMPORTANT] 餘數一定要比除數小。如果剩下的比人數還多，代表還可以再每人多分一顆。

試試看：23 ÷ 4 = ？

分數、小數初步認識

怎麼說：

• 分數：一個披薩平分成 4 片，吃 1 片就是「四分之一」，寫成 1/4。
• 小數：一條吐司平分成 10 片，1 片就是 0.1 條，3 片就是 0.3 條。

範例：1/4 和 1/8 哪個大？同一個披薩切成 8 片，每片一定比切成 4 片的小，所以 1/4 比較大。分母越大，每一份越小。

試試看：1/3 和 1/5 哪個大？

單位換算、角、圓

怎麼說：

• 單位：1 公里 = 1000 公尺（走路大約 15 分鐘）、1 公分 = 10 公釐、1 公斤 = 1000 公克、1 公升 = 1000 毫升。
• 角：把剪刀張開，張得越開角越大，跟剪刀刀片多長無關。
• 圓：用繩子一端綁鉛筆、一端用手指壓住在紙上繞一圈。手指壓的地方是「圓心」，繩子長度是「半徑」，穿過圓心的整條線是「直徑」，直徑 = 半徑 × 2。

範例：3 公里 200 公尺是多少公尺？先想「1 公里等於幾公尺」：1 公里 = 1000 公尺，所以 3 公里 = 3000 公尺，再加上 200，一共 3200 公尺。

試試看：半徑 3 公分的圓，直徑是多少？2 公斤 500 公克是多少公克？

國小四年級

一億以內的數

怎麼說：從個位開始每四位數分一節，右邊四位是「個」那一節，左邊四位是「萬」那一節。四年級先學到千萬，9999 萬再多 1 就是 1 億。

範例：23000000 分節成 2300｜0000，讀作「兩千三百萬」，大約是台灣的人口。

試試看：45060000 怎麼讀？

多位數乘除

怎麼說：大的數字拆成小的來算。乘法把其中一個數拆成「整十」和「個位」，分開乘再加起來；除法用「估商」，先猜每份大約多少，不夠或太多再調整。

範例：125 × 24 可以拆成 125 × 20 + 125 × 4 = 2500 + 500 = 3000。

範例：864 ÷ 24，先看 86 裡有幾個 24：3 個（72），剩 14；把 4 拉下來變 144，144 裡有 6 個 24，答案是 36。驗算：24 × 36 = 864。

試試看：315 × 12 = ？　672 ÷ 16 = ？

四則混合計算

怎麼說：一個算式裡同時有加減和乘除時，規則是「括號先算，再算乘除，最後算加減」。可以想成去買東西：先算每樣東西各花多少錢（乘），最後再加總。

範例：買 3 枝 15 元的筆和 1 本 40 元的筆記本，40 + 15 × 3 = 40 + 45 = 85 元。如果從左算到右，會算成 (40 + 15) × 3 = 165 元，就錯了。

範例（括號）：20 顆和 16 顆糖合起來，平分給 4 個人，要先合起來再分，所以寫成 (20 + 16) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9 顆。

試試看：100 − 12 × 5 = ？　(100 − 12) × 5 = ？

概數（四捨五入）

怎麼說：要取到哪一位，就看它的「下一位」：0～4 捨去，5～9 進位。去買東西時先估總價就用得到。

範例：3746 四捨五入到百位，看十位是 4，捨去，得 3700；四捨五入到千位，看百位是 7，進位，得 4000。

試試看：198 元和 302 元的東西各買一個，大約要準備多少錢？

真分數、假分數、帶分數、二位小數

怎麼說：

• 真分數：分子比分母小，不到一整個，例如 3/4。
• 假分數：分子大於或等於分母，例如 7/4。
• 帶分數：整數加上真分數，例如 1又3/4。
• 二位小數：0.01 是 1/100。1.25 公尺 = 1 公尺 25 公分。

範例：7/4 是 7 片「四分之一披薩」，每 4 片可以拼成 1 個完整披薩，拼完剩 3 片，所以 7/4 = 1又3/4。

試試看：11/3 換成帶分數是多少？

量角度、三角形與四邊形

怎麼說：量角器的中心點對準角的頂點，0 度的線對齊其中一條邊，再看另一條邊指到幾度。內圈外圈的數字要看從 0 開始的那一圈。

• 直角 = 90 度（書本的角）、平角 = 180 度（一直線）。
• 三角形依角度分成銳角、直角、鈍角三角形。
• 四邊形有正方形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形。

範例：量一個角，一條邊對齊外圈的 0，另一條邊指到外圈的 60，這個角就是 60 度。如果看錯成內圈，會讀成 120 度。量之前先用眼睛判斷角比直角小還是大，就不會讀錯圈。

試試看：時鐘 3 點整時，時針和分針夾幾度？

周長、面積、折線圖

怎麼說：周長是「圍一圈籬笆要多長」，面積是「地上要鋪幾塊 1 公分×1 公分的地磚」。

範例：長 5 公分、寬 3 公分的長方形，周長 = (5 + 3) × 2 = 16 公分，面積 = 5 × 3 = 15 平方公分。

折線圖：可以拿一週的氣溫來畫，線往上代表變熱，線越陡代表變化越快。

試試看：邊長 4 公分的正方形，周長和面積各是多少？

國小五年級

億、兆

怎麼說：四年級學到千萬，再往上就是「億」。一樣從個位開始每四位數分一節：個、萬、億、兆。1 億 = 10000 萬，1 兆 = 10000 億。

範例：350000000 分節成 3｜5000｜0000，讀作「三億五千萬」。

試試看：「五兆兩千億」寫成數字是多少？

因數、倍數、公因數、公倍數

怎麼說：12 顆糖要平分、一顆都不剩，可以分給 1、2、3、4、6、12 個人，這些就是 12 的「因數」。倍數就是乘法表的那一排：3 的倍數是 3、6、9、12……

範例（公因數）：12 支鉛筆和 18 塊橡皮擦，要平分給最多幾個人，而且都不剩？12 和 18 的公因數是 1、2、3、6，最大是 6，所以最多 6 人，每人 2 支鉛筆、3 塊橡皮擦。

範例（公倍數）：A 公車每 4 分鐘一班，B 公車每 6 分鐘一班，兩班同時發車後，下一次同時發車是幾分鐘後？4 和 6 的最小公倍數是 12，所以是 12 分鐘後。

試試看：8 和 12 的最大公因數、最小公倍數各是多少？

擴分、約分、異分母加減、分數與小數乘法

怎麼說：同一個披薩，切成 2 片吃 1 片，跟切成 4 片吃 2 片，吃到的一樣多，所以 1/2 = 2/4，這就是擴分；反過來 6/8 上下同除以 2 變成 3/4，就是約分。

範例（異分母加法）：1/2 + 1/3，分母不同不能直接加，先都換成六分之幾：3/6 + 2/6 = 5/6。

範例（分數乘法）：一條緞帶長 3/4 公尺，用掉其中的 2/3，用掉多長？3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2 公尺。

範例（小數乘法）：2.5 × 1.2，先當成 25 × 12 = 300，兩個數合起來有 2 位小數，所以點兩位得 3.00，也就是 3。

試試看：2/3 + 1/4 = ？　0.6 × 0.5 = ？

三角形與四邊形的內角和

怎麼說：在紙上畫一個三角形剪下來，把三個角撕下來拼在一起，剛好拼成一直線，也就是 180 度。不管三角形的大小、形狀怎麼變，結果都一樣。

範例：四邊形畫一條對角線，會切成兩個三角形，所以四邊形內角和是 180 × 2 = 360 度。

試試看：三角形兩個角是 50 度和 60 度，第三個角是幾度？四邊形有三個角是 90、80、100 度，第四個角是幾度？

平行四邊形、三角形、梯形面積

怎麼說：用紙剪剪看，每個公式都是從長方形變出來的。

• 平行四邊形：剪下一邊的三角形，移到另一邊就變成長方形，面積 = 底 × 高。
• 三角形：兩個一模一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，面積 = 底 × 高 ÷ 2。
• 梯形：兩個一模一樣的梯形倒過來拼，也是平行四邊形，面積 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。

範例：上底 3 公分、下底 5 公分、高 4 公分的梯形，面積 = (3 + 5) × 4 ÷ 2 = 16 平方公分。

試試看：底 6 公分、高 5 公分的三角形，面積多少？

體積

怎麼說：1 立方公分是長、寬、高都 1 公分的小方塊，差不多一顆方糖大。體積就是「裡面可以裝幾顆方糖」。

範例：長 5 公分、寬 4 公分、高 3 公分的盒子，一層排 5 × 4 = 20 顆，疊 3 層，共 60 立方公分。

1 立方公尺 = 100 × 100 × 100 = 1000000 立方公分。

試試看：邊長 10 公分的正方體，體積是多少？

百分率

怎麼說：「百分之幾」就是「假如有 100 份，佔了幾份」。商店打 8 折，就是只要付原價的 80%。

範例：全班 25 人，20 人有帶雨傘，20/25 = 80/100 = 80%。

試試看：300 元的玩具打 8 折，要付多少錢？

國小六年級

質數、質因數分解

怎麼說：拿糖果排成長方形。7 顆只能排成一長條（1 × 7），這種數叫「質數」；6 顆可以排成 2 × 3，叫「合數」。1 不是質數也不是合數。

範例：60 用樹狀圖拆到不能再拆：60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5。

試試看：把 36 做質因數分解。

分數除法、小數除法

怎麼說：除法是在問「裡面有幾個」。3 ÷ 1/2 就是問「3 個披薩裡有幾個半個披薩」，答案是 6，所以除以分數答案反而變大。

範例：除以一個分數，等於乘以它的倒數：3/4 ÷ 3/8 = 3/4 × 8/3 = 2。

範例：7.5 ÷ 2.5，兩個數同時乘以 10 變成 75 ÷ 25 = 3，答案不變。

試試看：2 ÷ 1/4 = ？　4.8 ÷ 1.2 = ？

比與比值、正比、速率

怎麼說：調果汁時「果汁：水 = 1：3」，意思是每 1 杯果汁配 3 杯水，比值是 1/3。

範例：要用 2 杯果汁，需要幾杯水？兩邊都乘以 2，2：6，要 6 杯水。

正比：一個布丁 15 元，買越多總價越多，而且「總價 ÷ 個數」永遠是 15。

速率：速率 = 距離 ÷ 時間。開車 3 小時走 240 公里，平均每小時 80 公里。

試試看：走路每分鐘 60 公尺，走 15 分鐘走多遠？

圓周率、圓面積

怎麼說：拿一條繩子繞杯口一圈量長度，再量杯口直徑，會發現一圈大約是直徑的 3 倍多一點。這個「3 倍多一點」就是圓周率，大約 3.14。

• 圓周長 = 直徑 × 3.14
• 圓面積 = 半徑 × 半徑 × 3.14（把圓切成很多小扇形、上下交錯排好，會接近一個長方形，長是半個圓周，寬是半徑）

範例：半徑 5 公分的圓，周長 = 10 × 3.14 = 31.4 公分，面積 = 5 × 5 × 3.14 = 78.5 平方公分。

試試看：直徑 4 公分的圓，面積是多少？

柱體體積、縮圖與比例尺

怎麼說：柱體就像一疊銅板，體積 = 底面積 × 高。

範例：半徑 2 公分、高 10 公分的圓柱，體積 = 2 × 2 × 3.14 × 10 = 125.6 立方公分。

比例尺：地圖上寫 1：1000，代表地圖上 1 公分是實際的 1000 公分（10 公尺）。地圖上量到 5 公分，實際就是 50 公尺。

縮圖：把一張圖的邊長放大 2 倍，面積會變成 4 倍（長和寬都變 2 倍）。

試試看：比例尺 1：50000 的地圖上兩地相距 3 公分，實際距離多遠？

用 x 列式

怎麼說：x 就像一個「蓋起來的盒子」，裡面藏著一個還不知道的數。列式就是先把題目的意思寫下來，再想辦法打開盒子。

範例：小明有一些貼紙，又拿到 8 張後一共 20 張，原本有幾張？列式 x + 8 = 20，想像天平兩邊同時拿走 8，x = 12。

試試看：一盒餅乾平分給 4 個人，每人分到 6 片，一盒有幾片？用 x 列式。

七年級

負數、數線、絕對值

怎麼說：氣溫零下 3 度記作 −3，電梯地下 2 樓記作 −2。在數線上 0 在中間，右邊是正數、左邊是負數，越右邊越大，所以 −1 比 −5 大。

絕對值是「離 0 有多遠」，不管在哪一邊：|−5| = 5，|3| = 3。

範例（加法）：(−3) + 5，想成欠別人 3 元，又拿到 5 元，還完還剩 2 元，答案是 2。

範例（負負得正）：看規律，每次少乘一個，結果就多 2：

 3 × (−2) = −6
 2 × (−2) = −4
 1 × (−2) = −2
 0 × (−2) =  0
−1 × (−2) =  2

範例（分數）：(−1/2) + 1/3 = (−3/6) + 2/6 = −1/6。

試試看：(−7) + 4 = ？　(−4) × (−5) = ？

指數記法、科學記號

怎麼說：同一個數一直乘，用「次方」寫比較短：2 × 2 × 2 = 2³，念作「2 的 3 次方」。10⁴ = 10000，就是 1 後面 4 個 0。

科學記號把很大或很小的數寫成「1 到 10 之間的數 × 10 的幾次方」。

範例：地球到太陽約 150000000 公里 = 1.5 × 10⁸ 公里；0.0003 = 3 × 10⁻⁴。

試試看：把 4200000 寫成科學記號。

一元一次方程式、二元一次聯立方程式

怎麼說：方程式就像天平，兩邊一樣重。不管做什麼，兩邊都要做一樣的事，天平才會保持平衡。

範例：2x + 3 = 11，兩邊同時減 3 得 2x = 8，再同時除以 2 得 x = 4。驗算：2 × 4 + 3 = 11。

範例（雞兔同籠）：雞和兔共 10 隻，腳共 28 隻，各幾隻？設雞 x 隻、兔 y 隻：

x + y = 10
2x + 4y = 28

由第一式得 x = 10 − y，代入第二式：2(10 − y) + 4y = 28 → 20 + 2y = 28 → y = 4，x = 6。驗算：6 × 2 + 4 × 4 = 28。

試試看：3x − 5 = 16，x = ？

直角坐標、比例（正比、反比）

怎麼說：坐標就像電影院座位「第幾排第幾號」。點 (3, 2) 的意思是從原點先往右 3 格、再往上 2 格。

• 正比：一本書 50 元，總價 y = 50x，買越多付越多，y ÷ x 永遠是 50。
• 反比：24 塊餅乾平分，2 人每人 12 塊、3 人每人 8 塊、4 人每人 6 塊，人數 × 每人塊數永遠是 24。

範例：點 A (2, 1) 和點 B (2, 4) 的 x 坐標一樣，表示兩點在同一條直的線上，距離是 4 − 1 = 3 格。

試試看：點 (−2, 3) 在第幾象限？

一元一次不等式、統計圖表

怎麼說：不等式就是「最多、至少」的規定。電梯限重 500 公斤，乘客總重量要 ≤ 500，把方程式的等號換成不等號，解法幾乎一樣。

範例：有 100 元，每支筆 15 元，最多能買幾支？15x ≤ 100，x ≤ 6.66…，筆只能整支買，所以最多 6 支。

[!WARNING] 不等式兩邊同時乘以或除以負數時，不等號要反過來：−2x ＜ 6，兩邊除以 −2，得 x ＞ −3。可以代 x = 0 檢查：0 ＜ 6 成立，0 ＞ −3 也成立。

統計圖表：長條圖適合比較多少，折線圖適合看變化，圓形圖適合看各部分占全部的比例。

範例（統計圖表）：比較班上同學最喜歡哪種水果，用長條圖；看一年 12 個月的雨量怎麼變化，用折線圖；看每個月的零用錢花在哪些地方、各占多少，用圓形圖。

試試看：5x + 2 ＞ 17，x 的範圍是多少？要呈現一天 24 小時的氣溫變化，適合用哪一種圖？

八年級

乘法公式、多項式、因式分解

怎麼說：(a + b)² 可以畫成邊長 a + b 的正方形，切開會得到一個 a²、一個 b²，還有兩個 ab 的長方形，所以 (a + b)² = a² + 2ab + b²。

範例（心算）：21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441。

範例（平方差）：(a + b)(a − b) = a² − b²，所以 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499。

多項式像整理房間，同一類的放一起：3x + 2 + 5x − 7 = 8x − 5。

因式分解是乘法反過來做：x² + 5x + 6，找兩個數「相乘是 6、相加是 5」，就是 2 和 3，所以 = (x + 2)(x + 3)。

試試看：99² = ？　把 x² + 7x + 12 因式分解。

平方根、畢氏定理

怎麼說：√49 是在問「哪個數自己乘自己會等於 49」，答案是 7，也就是面積 49 的正方形邊長。面積 2 的正方形邊長是 √2，約 1.414，不是整數。

畢氏定理：直角三角形兩股的平方和等於斜邊的平方，a² + b² = c²。最常見的是 3、4、5：9 + 16 = 25。

範例：5 公尺長的梯子斜靠在牆上，梯腳離牆 3 公尺，梯子頂端有多高？5² − 3² = 25 − 9 = 16，√16 = 4，高 4 公尺。

試試看：直角三角形兩股是 6 和 8，斜邊多長？

一元二次方程式

怎麼說：x² = 9 有兩個答案：3 和 −3，因為 (−3)² 也是 9。

範例：x² − 5x + 6 = 0，先因式分解成 (x − 2)(x − 3) = 0。兩個數相乘是 0，至少有一個是 0，所以 x = 2 或 x = 3。

範例（應用）：長方形花圃面積 24 平方公尺，長比寬多 2 公尺，寬是多少？設寬 x：x(x + 2) = 24 → x² + 2x − 24 = 0 → (x + 6)(x − 4) = 0，x = 4 或 −6。寬不能是負的，所以寬 4 公尺、長 6 公尺。

試試看：x² − 16 = 0，x = ？

等差數列與級數、等比數列、線性函數

怎麼說：存錢第一週存 10 元，之後每週多存 5 元：10、15、20、25……每次加一樣多，就是等差數列，每次加的數叫「公差」。

範例（第幾項）：第 n 項 = 首項 + (n − 1) × 公差，第 10 週存 10 + 9 × 5 = 55 元。

範例（級數，就是加總）：1 + 2 + 3 + … + 100，把頭尾配對：1 + 100、2 + 99……每對都是 101，共 50 對，101 × 50 = 5050。公式是 (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2，所以 10 週總共存 (10 + 55) × 10 ÷ 2 = 325 元。

等比數列：每次乘一樣多，乘的數叫「公比」。細胞每次分裂成 2 個：1、2、4、8……第 n 項 = 首項 × 公比的 (n − 1) 次方，所以第 6 項是 1 × 2⁵ = 32。

線性函數：假設計程車起跳 85 元、之後每公里加 25 元，車資 y = 25x + 85，畫出來是一條直線。

試試看：2、5、8、11……第 20 項是多少？3、6、12、24……第 6 項是多少？

三角形全等、尺規作圖

怎麼說：兩個三角形「全等」，就是疊起來完全一樣。不用把三個邊、三個角都量過，只要下面任一組條件相同，就能確定全等：

• SSS：三邊對應相等
• SAS：兩邊和它們的夾角對應相等
• ASA：兩角和它們的夾邊對應相等
• AAS：兩角和其中一角的對邊對應相等
• RHS：直角三角形的斜邊和一股對應相等

可以讓小朋友用三根吸管拼三角形：三根的長度固定，不管怎麼拼都是同一個形狀，這就是 SSS。

[!WARNING] 「兩邊和一個不是夾角的角」相等（SSA）不能保證全等，同樣的條件有時可以拼出兩種不同的三角形。

尺規作圖只能用沒有刻度的直尺和圓規。

範例（中垂線）：分別以線段的兩個端點為圓心，用同一個半徑（要比線段的一半長）各畫一段圓弧，兩段弧會交在兩點，把這兩點連起來就是中垂線。中垂線上的每一點到兩個端點都一樣遠，九年級的外心就會用到。

試試看：兩個三角形中，AB = DE、BC = EF，而且 ∠B = ∠E（∠B 是 AB 和 BC 的夾角），它們全等嗎？用的是哪一個性質？

三角形、平行四邊形性質，幾何證明入門

怎麼說：五年級用撕紙發現三角形內角和是 180 度，八年級要改用推理說明為什麼。

證明就像偵探推理，每一步都要說出「為什麼」。例如證明內角和 180 度：過三角形的頂點畫一條和底邊平行的直線，利用「平行線的內錯角相等」，三個角剛好組成一個平角。

多邊形內角和：從一個頂點畫對角線，n 邊形可以切成 n − 2 個三角形，所以內角和 = (n − 2) × 180 度。五邊形就是 3 × 180 = 540 度。

平行四邊形：兩組對邊相等、兩組對角相等、兩條對角線互相平分。

範例：等腰三角形的頂角是 40 度，兩個底角一樣大，各是 (180 − 40) ÷ 2 = 70 度。

試試看：正六邊形的每個內角是幾度？

九年級

相似形、圓的性質

怎麼說：相似形就是照片放大或縮小，形狀一樣、大小不同。對應角相等，對應邊的長度成比例。

範例（影子測樹高）：身高 1.5 公尺的人影子長 2 公尺，同一時間樹的影子長 8 公尺，樹有多高？8 是 2 的 4 倍，樹高也是 1.5 的 4 倍，6 公尺。

圓的性質：

• 同一段弧所對的圓心角，是圓周角的 2 倍。
• 直徑所對的圓周角一定是 90 度。
• 切線和過切點的半徑互相垂直。

試試看：一段弧所對的圓心角是 80 度，同一段弧所對的圓周角是幾度？

三角形的外心、內心、重心

怎麼說：

• 外心：三邊中垂線的交點，到三個頂點一樣遠。三個村莊要蓋一所學校，讓三村到學校一樣遠，學校就蓋在外心。
• 內心：三個角的角平分線交點，到三條邊一樣遠。三角形公園裡要放一個最大的圓形噴水池，圓心就在內心。
• 重心：三條中線的交點，是三角形的平衡點。用紙板剪一個三角形，用鉛筆尖頂住重心，紙板就能平衡。重心把每條中線分成 2：1。

範例：直角三角形的外心在斜邊的中點。斜邊 10 公分，外接圓半徑就是 5 公分。

試試看：一條中線長 9 公分，重心到頂點的距離是多少？

二次函數（拋物線）

怎麼說：y = x² 畫出來是一個開口向上的 U 字形，叫做拋物線；把球往上丟，球飛行的路線就是開口向下的拋物線。最高點或最低點叫「頂點」。

範例：球的高度 h = −t² + 4t（t 是秒數），配方成 h = −(t − 2)² + 4，所以第 2 秒時最高，高度是 4。什麼時候落地？h = 0 時，t(4 − t) = 0，t = 0（剛丟出）或 t = 4（落地）。

試試看：y = (x − 3)² + 1 的頂點在哪裡？開口朝上還是朝下？

統計與機率、立體圖形

怎麼說：機率是在問「有多大的機會」，0 代表不可能、1 代表一定會發生。算機率之前，先把所有可能的情況列出來，最不容易出錯。

機率 = 想要的情況有幾種 ÷ 全部可能的情況有幾種。

範例：擲一顆骰子出現偶數，偶數有 2、4、6 三種，全部有 6 種，機率 3/6 = 1/2。

範例（常見錯誤）：丟兩枚硬幣，出現「一正一反」的機率是多少？很多人會說 1/3，但把所有情況列出來是「正正、正反、反正、反反」4 種，一正一反有 2 種，機率是 2/4 = 1/2。

四分位數與盒狀圖：9 位同學的分數由小到大排好：2、4、5、7、8、10、12、15、20。

• 中位數（第二四分位數）是正中間的 8。
• 第一四分位數是前半 2、4、5、7 的中位數，(4 + 5) ÷ 2 = 4.5。
• 第三四分位數是後半 10、12、15、20 的中位數，(12 + 15) ÷ 2 = 13.5。

盒狀圖就是用最小值 2、4.5、8、13.5、最大值 20 這五個數畫出來的圖，一眼就看得出資料集中在哪裡。

立體圖形：把紙盒沿著邊剪開攤平，就是它的展開圖。正方體的展開圖有 11 種，可以讓小朋友自己畫畫看、剪下來摺摺看。

試試看：袋子裡有 3 顆紅球、5 顆藍球，隨便摸一顆是紅球的機率是多少？

十年級（高一）

絕對值、指數、常用對數

怎麼說：絕對值是「距離」。|x − 3| ≤ 2 的意思是「x 在數線上離 3 不超過 2」，往左往右各走 2 步，所以 1 ≤ x ≤ 5，不用硬背公式。

指數：國中學過 2³ = 2 × 2 × 2，高一把次方推廣到 0、負數和分數。關鍵是指數律「同底數相乘，次方相加」：2³ × 2² = 2⁵。照這個規則，2³ × 2⁻³ = 2⁰，而左邊是 8 × 1/8 = 1，所以 2⁰ = 1、2⁻³ = 1/8。分數次方就是開根號：8 的 1/3 次方是「哪個數乘 3 次等於 8」，答案是 2。

範例（指數）：8 的 2/3 次方 = (8 的 1/3 次方)² = 2² = 4。

常用對數 log 是在問「10 要幾次方才會等於這個數」：log 1000 = 3，因為 10³ = 1000。

範例（對數）：2¹⁰⁰ 是幾位數？已知 log 2 ≈ 0.3010，log 2¹⁰⁰ = 100 × 0.3010 = 30.10，所以 2¹⁰⁰ 介於 10³⁰ 和 10³¹ 之間，是 31 位數。

試試看：27 的 2/3 次方是多少？已知 log 3 ≈ 0.4771，3²⁰ 是幾位數？

直線與圓

怎麼說：斜率就是坡度，「往右走 1 步，往上爬幾步」。圓就是「離圓心距離都等於半徑的所有點」，跟用圓規畫圓的道理一樣。

範例（直線）：通過 (1, 2) 和 (3, 8) 的直線，斜率 = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 3，方程式是 y − 2 = 3(x − 1)，整理成 y = 3x − 1。

範例（圓）：圓心 (2, −1)、半徑 3 的圓：(x − 2)² + (y + 1)² = 9。

直線與圓的關係：比較「圓心到直線的距離」和「半徑」。距離比半徑小就交兩點、相等就相切、比較大就不相交。

試試看：圓 x² + y² = 25 和直線 3x + 4y = 10 有幾個交點？（點到直線距離公式算出來，圓心 (0, 0) 到直線的距離是 10 ÷ 5 = 2。）

多項式：餘式定理、因式定理、不等式

怎麼說：先想整數除法：17 ÷ 5 = 3 餘 2，可以寫成 17 = 5 × 3 + 2。多項式也一樣，f(x) = (x − a) × 商式 + 餘數。把 x = a 代進去，前面那一項變成 0，就只剩餘數。所以「f(x) 除以 x − a 的餘數就是 f(a)」，這就是餘式定理。

範例：f(x) = x³ − 2x + 5 除以 x − 2 的餘數是 f(2) = 8 − 4 + 5 = 9，不用真的做長除法。

因式定理：如果 f(a) = 0，餘數是 0，代表 x − a 是 f(x) 的因式。

範例：x³ − 6x² + 11x − 6，試 x = 1 得 1 − 6 + 11 − 6 = 0，所以 x − 1 是因式，最後可以分解成 (x − 1)(x − 2)(x − 3)。

多項式不等式：(x − 1)(x − 4) ＜ 0，畫出開口向上的拋物線，和 x 軸交在 1 和 4，兩根之間的部分在 x 軸下方，所以 1 ＜ x ＜ 4。

試試看：x³ + 2x² − 5x + 1 除以 x + 1 的餘數是多少？

三角比、正弦定理、餘弦定理

怎麼說：三角比可以量「走不到的地方」。站在離大樓 50 公尺處，抬頭看樓頂的仰角是 30 度，大樓高度 = 50 × tan 30° ≈ 50 × 0.577 ≈ 28.9 公尺。

直角三角形中：sin = 對邊 ÷ 斜邊、cos = 鄰邊 ÷ 斜邊、tan = 對邊 ÷ 鄰邊。

廣義角：角超過 90 度就畫不進直角三角形，改放到坐標平面上：從 x 軸正向開始逆時針轉，在角的終邊上取一點 (x, y)，它到原點的距離是 r，就定義 sin = y ÷ r、cos = x ÷ r。角落在第二象限時，x 是負的，所以 cos 是負的，例如 cos 120° = −cos 60° = −0.5。

餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab cos C，可以想成畢氏定理的升級版：C 是 90 度時 cos C = 0，就變回 a² + b² = c²。

範例：三角形兩邊 5 和 8，夾角 60 度，第三邊多長？c² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 0.5 = 89 − 40 = 49，c = 7。

正弦定理：a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C = 外接圓直徑，知道兩角一邊就能求其他邊。

試試看：直角三角形斜邊 10，其中一個角是 30 度，這個角的對邊多長？sin 150° 是多少？

數列與級數

怎麼說：國中學過等差（每次加一樣多）和等比（每次乘一樣多），高一要學怎麼把它們加總起來。一張 0.1 公釐厚的紙對摺 10 次，厚度是 0.1 × 2¹⁰ = 102.4 公釐，已經超過 10 公分，這就是等比成長的威力。

Σ 符號是「加總」的簡寫，Σ 下面寫從哪裡開始、上面寫加到哪裡。例如 k 從 1 加到 10，就是 1 + 2 + … + 10 = 55。

範例（等比級數）：1 + 2 + 4 + … + 2⁹，公式是 首項 × (公比ⁿ − 1) ÷ (公比 − 1) = 1 × (2¹⁰ − 1) ÷ 1 = 1023。

試試看：3 + 6 + 12 + 24 + 48 = ？

排列、組合、二項式定理

怎麼說：排列「在意順序」，組合「不在意順序」。從 5 個人選 3 個頒發金、銀、銅牌是排列；選 3 個人一起去比賽是組合。

範例：

• 排列：金牌 5 種選法、銀牌剩 4 種、銅牌剩 3 種，共 5 × 4 × 3 = 60 種。
• 組合：同樣 3 個人在排列裡會被算 3 × 2 × 1 = 6 次，所以 60 ÷ 6 = 10 種，記作 C(5, 3)，課本寫成 C 的右上角 5、右下角 3。

二項式定理：(a + b)ⁿ 展開後的係數就是巴斯卡三角形那一列：

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1

所以 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。

試試看：6 個人每兩人握一次手，一共握幾次？

古典機率、期望值

怎麼說：機率 = 符合條件的情況數 ÷ 全部情況數，前提是每種情況發生的機會一樣大。高中機率的難處通常是「數清楚有幾種」，所以要搭配排列組合。

範例：擲兩顆骰子，點數和是 7 的機率？全部有 6 × 6 = 36 種，和為 7 的有 (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1) 共 6 種，機率 6/36 = 1/6。

範例（抽籤公平嗎）：10 支籤裡有 3 支中獎，第一個人和第二個人抽中的機率一樣嗎？

• 第一個人：3/10。
• 第二個人：要看第一個人抽到什麼。(3/10) × (2/9) + (7/10) × (3/9) = 6/90 + 21/90 = 27/90 = 3/10。

一樣是 3/10，所以先抽後抽都公平。

期望值：「平均來說每次能拿到多少」，算法是每種結果的金額乘上它的機率，再全部加起來。

範例：100 張彩券中，1 張中 1000 元、5 張中 100 元，其他沒中。期望值 = 1000 × 1/100 + 100 × 5/100 = 10 + 5 = 15 元。如果一張賣 20 元，長期來看每張虧 5 元。

試試看：從 1 到 10 隨機抽一個數，是 3 的倍數的機率是多少？擲一顆骰子，擲到幾點就拿幾元，平均每次能拿多少？

數據分析

怎麼說：平均數告訴你「中心在哪裡」，標準差告訴你「資料散得多開」。

範例：兩組成績平均都是 70 分。

• A 組：68、70、72，每個人離平均只差 0～2 分，標準差約 1.6。
• B 組：50、70、90，每個人離平均差到 20 分，標準差約 16.3。

平均一樣，但 B 組程度落差大很多。標準差的算法是「每個數離平均多遠，平方後取平均，再開根號」。

相關係數介於 −1 和 1 之間，越接近 1 表示越一起變大，越接近 −1 表示一個變大另一個變小。

[!WARNING] 相關不代表因果。夏天冰淇淋賣得多、溺水的人也多，兩者正相關，但原因是天氣熱，不是吃冰淇淋造成溺水。

迴歸直線是最能代表散布圖趨勢的那一條直線，可以用來預測，例如用讀書時間預估考試分數。

試試看：資料 2、4、6、8、10 的平均數和標準差是多少？

十一年級（高二）

三角函數圖形、弧度、和差角公式

怎麼說：坐摩天輪時，你的高度會隨時間一高一低、不斷重複，畫出來就是 sin 函數的波浪形。轉一圈回到原位，就是一個「週期」；離中心最遠的距離是「振幅」。

弧度是另一種量角度的方式：180° = π 弧度，所以 90° = π/2、360° = 2π。

範例：摩天輪半徑 20 公尺，中心離地 25 公尺，高度 = 25 + 20 sin θ。sin θ 最大是 1、最小是 −1，所以最高 45 公尺、最低 5 公尺。

和差角公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B，可以用 30°、45°、60° 這些熟悉的角，拼出其他角度的值。

範例：sin 75° = sin(45° + 30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0.966。

疊合：sin x + √3 cos x 可以合成 2 sin(x + 60°)，兩個波疊成一個波，馬上看得出最大值是 2、最小值是 −2。

試試看：y = 3 sin x 的最大值和最小值是多少？

指數函數、對數函數

怎麼說：細菌每小時分裂成 2 倍，數量是 2ⁿ，這是指數成長，一開始慢、後來快得驚人。對數則是反過來問：「要等多久才會到這個數量？」

範例：1 隻細菌每小時加倍，幾小時後會超過 1000 隻？2ⁿ ＞ 1000，兩邊取 log：n × 0.3010 ＞ 3，n ＞ 9.97，所以要 10 小時。

對數律：log(a × b) = log a + log b，把乘法變成加法。在計算機出現以前，天文學家就是靠對數表算大數字的乘法。

試試看：log₂ 32 = ？

平面向量、內積

怎麼說：向量是「有方向的箭頭」。導航說「往東 3 公里、再往北 4 公里」，兩個向量頭尾相接，合起來就是從起點直接指到終點的向量，長度是 √(3² + 4²) = 5 公里。

內積可以想成「一個力有多少用在這個方向上」。拉行李箱用 50 牛頓的力，拉桿和地面夾 60 度，真正往前拉的力是 50 × cos 60° = 25 牛頓。

範例（坐標算內積）：(1, 2) 和 (3, 4) 的內積 = 1 × 3 + 2 × 4 = 11。

兩個向量內積是 0，代表互相垂直：(2, 1) 和 (−1, 2) 的內積 = −2 + 2 = 0。

試試看：(3, −2) 和 (4, 6) 互相垂直嗎？

空間向量、空間中的平面與直線（數A）

怎麼說：把房間的一個牆角當成原點，沿著地板的兩條牆邊和往上的牆角線就是 x、y、z 三個軸，房間裡的每個點都可以用 (x, y, z) 表示。

平面方程式 ax + by + cz = d 裡的 (a, b, c) 叫「法向量」，就像一根垂直插在桌面上的筷子，決定了這個平面朝哪個方向。

範例：點 (1, 2, 3) 到原點的距離 = √(1² + 2² + 3²) = √14。

試試看：平面 x + 2y + 2z = 6 的法向量是什麼？原點到這個平面的距離是多少？

矩陣

怎麼說：矩陣就是把數字排成一張表格。兩個矩陣相乘的規則是「左邊橫的一列，對上右邊直的一行，對應相乘再加起來」。

範例：A 店賣出紅茶 3 杯、綠茶 2 杯，B 店賣出紅茶 1 杯、綠茶 4 杯；紅茶一杯 30 元、綠茶一杯 25 元。兩家店各收入多少？

[ 3  2 ]   [ 30 ]   [ 3×30 + 2×25 ]   [ 140 ]
[ 1  4 ] × [ 25 ] = [ 1×30 + 4×25 ] = [ 130 ]

A 店 140 元、B 店 130 元。數A 還會用矩陣解三元一次聯立方程式，以及描述圖形的旋轉、伸縮。

試試看：計算下面的矩陣乘法。

[ 2  1 ]   [ 4 ]
[ 0  3 ] × [ 5 ]

條件機率、貝氏定理

怎麼說：已經知道某件事發生了，可能的範圍就縮小了，只要在縮小後的範圍裡重新數就好。

範例：擲兩顆骰子，已知點數和是 8，其中有一顆是 6 的機率？和為 8 的有 (2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2) 共 5 種，有 6 的是 2 種，機率 2/5。

貝氏定理是反過來問：已經看到結果，回頭推測是哪個原因造成的。

範例：工廠的 A 機器生產 60% 的零件、不良率 1%；B 機器生產 40%、不良率 3%。抽到一個不良品，它來自 B 機器的機率是多少？

• 來自 A 的不良品：0.6 × 0.01 = 0.006
• 來自 B 的不良品：0.4 × 0.03 = 0.012

不良品一共 0.018，其中 B 占 0.012 ÷ 0.018 = 2/3。B 機器的產量比較少，不良品卻有三分之二是它做的。

試試看：一個家庭有兩個小孩，已知至少有一個是女孩，兩個都是女孩的機率是多少？（假設生男生女的機會各一半）

十二年級（高三，選修）

極限、微分

怎麼說：車子儀表板顯示的是「這一瞬間」的速度。如果只知道位置，可以算 1 秒內的平均速度、0.1 秒內的、0.01 秒內的……時間越取越短，平均速度會越來越接近某個值，這就是「極限」，那個值就是瞬間速度。

微分算的就是瞬間變化率，畫在圖上是切線的斜率。

範例：f(x) = x² 的導函數 f′(x) = 2x，所以在 x = 3 這一點，切線斜率是 6。

範例（求最大值）：周長 20 公分的長方形，面積最大是多少？設長 x、寬 10 − x，面積 A = 10x − x²。A′ = 10 − 2x = 0，x = 5，也就是正方形時面積最大，5 × 5 = 25 平方公分。

試試看：f(x) = x³ − 3x 在哪些地方有極值？

積分、微積分基本定理

怎麼說：要算一塊彎曲圖形的面積，可以把它切成很多細長條，每條近似一個長方形，全部加起來。切得越細就越準，這就是積分。

微積分基本定理說：積分是微分的反運算。速度對時間積分，就得到走了多遠。

範例：y = x² 從 x = 0 到 x = 2 和 x 軸圍出的面積 = 2³ ÷ 3 = 8/3。因為 x³/3 微分後是 x²，所以把 2 和 0 代入 x³/3 相減就是答案。

試試看：y = 2x 從 x = 0 到 x = 3 和 x 軸圍出的面積是多少？

隨機變數、二項分布

怎麼說：把每次實驗的結果對應成一個數字，例如「投 3 次籃，進了幾球」可能是 0、1、2、3，這個數字就叫隨機變數。高一學的期望值，在這裡就是隨機變數的平均。

二項分布：同一件事重複做 n 次，每次成功機率都一樣，問恰好成功幾次。

範例：投籃命中率 0.6，投 3 次恰好進 2 次的機率 = C(3, 2) × 0.6² × 0.4 = 3 × 0.36 × 0.4 = 0.432。

二項分布的期望值有捷徑：次數 × 成功機率。投 3 次、命中率 0.6，平均進 3 × 0.6 = 1.8 球。

試試看：丟 4 次硬幣，恰好 2 次正面的機率是多少？

複數與複數平面（數學甲）

怎麼說：i 是一個「平方等於 −1」的數。把複數 a + bi 畫在平面上，a 是橫軸、b 是縱軸，乘以 i 就等於把這個點繞原點逆時針轉 90 度：1 乘 i 變 i，再乘 i 變 −1，剛好轉了半圈。

範例：(2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i。

試試看：(1 + i)² = ？